Jiří Klimeš vystudoval hejčínské gymnázium a poté Pedagogickou fakultu Univerzity Palackého. Profesní kariéru zahájil jako sbormistr Olomouckého dětského sboru, který fungoval při Okresním domě pionýrů a mládeže, později působil jako sbormistr Olomouckého pěveckého sboru při Parku kultury a oddechu, z nějž později vznikl známý sbor Campanella. Jako sbormistr vedl tento celek takřka půl století.
Kromě Olomouce zakládal a řídil pěvecké sbory i v dalších moravských městech, ve Šternberku a v Hranicích. Jakožto sbormistr vedl také soubor opery a operety Moravského divadla Olomouc či sboru Moravské filharmonie Žerotín (1981-1990). Působil i jako odborný asistent na katedře hudební vědy a výchovy Pedagogické fakulty UP.
Mnoho let byl prezidentem renomovaného festivalu Svátky písní Olomouc, který za jeho působení získal mezinárodní renomé i přízeň olomouckého publika. Kromě Svátků písní se výrazně podílel i na dalších festivalech, jako je Musica Religiosa Olomouc, Amadeo Olomouc a Festa Choralis Bratislava.
V posledních letech jeho aktivity omezovalo zdraví, nicméně v kulturním světě se i nadále pohyboval tak intenzivně, jak mu to zdravotní stav dovoloval. Nejen pro olomouckou kulturní sféru znamená jeho odchod velkou ztrátu.